Simplify the expression: MATHSTART \frac{\sqrt{10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} MATHEND
व्यंजक को सरल कीजिए: MATHSTART \frac{\sqrt{10+\sqrt{24+\sqrt{40+\sqrt{60}}}}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}} MATHEND
Solution / समाधान
The nested radical equals MATHSTART \sqrt(2)+\sqrt(3)+\sqrt(5) MATHEND, since squaring this sum gives MATHSTART 10+2\sqrt(6)+2\sqrt(10)+2\sqrt(15) MATHEND, and the nested radical evaluates to the same positive value. The numerator and denominator are equal, so the answer is 1.
अंश का मान √2 + √3 + √5 के बराबर है। अतः अंश और हर समान हैं, इसलिए व्यंजक का मान 1 है।
Find the value of the infinite expression: MATHSTART \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}} MATHEND
अनंत व्यंजक MATHSTART \sqrt{6+\sqrt{6+\sqrt{6+\cdots}}} MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Let x = MATHSTART \sqrt(6+x) MATHEND. Then x² = 6+x, so x²−x−6 = 0. Thus (x−3)(x+2) = 0. Since the expression is positive, x = 3.
माना x = √(6+x)। तब x² = 6+x, अर्थात x²−x−6 = 0। अतः (x−3)(x+2) = 0। व्यंजक धनात्मक है, इसलिए x = 3।
If x = 531, y = -295, and z = -231, find the value of MATHSTART \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz} MATHEND.
यदि x = 531, y = -295 और z = -231, तो MATHSTART \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz} MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−yz−zx), and (x−y)²+(y−z)²+(z−x)² = 2(x²+y²+z²−xy−yz−zx), the expression equals 2/(x+y+z). Since x+y+z = 5, the answer is 2/5 = 0.4.
पहचान x³+y³+z³−3xyz = (x+y+z)(x²+y²+z²−xy−yz−zx) तथा (x−y)²+(y−z)²+(z−x)² = 2(x²+y²+z²−xy−yz−zx) का प्रयोग करने पर मान 2/(x+y+z) मिलता है। x+y+z = 5, अतः उत्तर 2/5 = 0.4 है।
If MATHSTART x=531, y=-295, z=-231 MATHEND, find the value of MATHSTART \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz} MATHEND.
यदि MATHSTART x=531, y=-295, z=-231 MATHEND, तो MATHSTART \frac{(x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2}{x^3+y^3+z^3-3xyz} MATHEND का मान ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Using the identities MATHSTART (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND and MATHSTART x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND, the expression simplifies to MATHSTART \frac{2}{x+y+z} MATHEND. Now, MATHSTART x+y+z=531-295-231=5 MATHEND. Therefore, MATHSTART \frac{2}{5}=0.4 MATHEND. Correct answer: Option B.
सूत्र MATHSTART (x-y)^2+(y-z)^2+(z-x)^2=2(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND तथा MATHSTART x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx) MATHEND का प्रयोग करने पर व्यंजक सरल होकर MATHSTART \frac{2}{x+y+z} MATHEND हो जाता है। अब, MATHSTART x+y+z=531-295-231=5 MATHEND। अतः MATHSTART \frac{2}{5}=0.4 MATHEND। सही उत्तर: विकल्प B।
Ravi started a business with an investment of Rs. 90,000, and Krishna joined him after 4 months by investing Rs. 1,50,000. If the profit at the end of the year is Rs. 66,500, find Krishna's share of the profit.
रवि ने Rs. 90,000 के निवेश के साथ एक व्यवसाय शुरू किया और 4 महीने बाद कृष्णा ने Rs. 1,50,000 का निवेश करके उसके साथ जुड़ गया। यदि वर्ष के अंत में लाभ Rs. 66,500 है, तो कृष्णा का लाभ ज्ञात कीजिए।
Solution / समाधान
Profit-sharing ratio = Investment × Time. Ravi's investment-time = 90,000 × 12 = 10,80,000. Krishna's investment-time = 1,50,000 × 8 = 12,00,000. Therefore, the ratio = 9:10. Krishna's share = MATHSTART \frac{10}{9+10}\times 66,500 MATHEND = Rs. 35,000. Correct answer: Option B.
लाभ का अनुपात = पूँजी × समय। रवि का पूँजी-समय = MATHSTART 90,000 imes12=10,80,000 MATHEND। कृष्णा का पूँजी-समय = MATHSTART 1,50,000 imes8=12,00,000 MATHEND। अतः अनुपात = MATHSTART 9:10 MATHEND। कृष्णा का लाभ = MATHSTART \frac{10}{9+10} imes66,500 MATHEND = Rs. 35,000। सही उत्तर: विकल्प B।
At what annual rate will Rs. 54,000 yield a compound interest of Rs. 39,312 in 9 months, compounded quarterly?
किस वार्षिक दर पर Rs. 54,000 की राशि 9 महीने में त्रैमासिक रूप से संयोजित होने पर Rs. 39,312 का चक्रवृद्धि ब्याज देगी?
Solution / समाधान
Principal = Rs. 54,000; compound interest = Rs. 39,312. Amount = 54,000 + 39,312 = Rs. 93,312. Therefore, MATHSTART \frac{A}{P}=\frac{93,312}{54,000}=1.728=(1.2)^3 MATHEND. There are 3 quarters in 9 months, so the quarterly interest rate is 20%. Annual rate = MATHSTART 20% imes4=\boxed{80%} MATHEND. Correct answer: Option D.
मूलधन = Rs. 54,000 और चक्रवृद्धि ब्याज = Rs. 39,312। मिश्रधन = MATHSTART 54,000+39,312=93,312 MATHEND। अतः MATHSTART \frac{A}{P}=\frac{93,312}{54,000}=1.728=(1.2)^3 MATHEND। 9 महीने में 3 तिमाहियाँ होती हैं, इसलिए त्रैमासिक ब्याज दर 20% है। वार्षिक दर = MATHSTART 20% imes4=\boxed{80%} MATHEND। सही उत्तर: विकल्प D।
”If
A hemispherical bowl has a radius of 9 cm and is completely filled with water. What is its volume?
एक अर्धगोले के आकार के कटोरे की त्रिज्या 9 cm है और यह पूरी तरह पानी से भरा हुआ है। इसका आयतन क्या है?
Solution / समाधान
Volume of a hemisphere = (2/3)πr³. Given r=9 cm. Therefore, volume = (2/3)π × 9³ = (2/3)π × 729 = 486π cm³. Correct answer: Option C.
अर्धगोले का आयतन = MATHSTART \frac23\pi r^3 MATHEND। दिया है r=9 cm। अतः आयतन = MATHSTART \frac23\pi imes9^3=\frac23\pi imes729=486pi\text{ cm}^3 MATHEND। सही उत्तर: विकल्प C।
